[C++] 백준 온라인 저지 11052번 카드 구매하기 풀이

N개의 카드를 구매하는 데 필요한 최대 금액을 구하는 문제

 

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문제

 

요즘 민규네 동네에서는 스타트링크에서 만든 PS카드를 모으는 것이 유행이다.

PS카드는 PS(Problem Solving)분야에서 유명한 사람들의 아이디와 얼굴이 적혀있는 카드이다. 각각의 카드에는 등급을 나타내는 색이 칠해져 있고, 다음과 같이 8가지가 있다.

• 전설카드
• 레드카드
• 오렌지카드
• 퍼플카드
• 블루카드
• 청록카드
• 그린카드
• 그레이카드

카드는 카드팩의 형태로만 구매할 수 있고, 카드팩의 종류는 카드 1개가 포함된 카드팩, 카드 2개가 포함된 카드팩, ... 카드 N개가 포함된 카드팩과 같이 총 N가지가 존재한다.

민규는 카드의 개수가 적은 팩이더라도 가격이 비싸면 높은 등급의 카드가 많이 들어있을 것이라는 미신을 믿고 있다. 따라서, 민규는 돈을 최대한 많이 지불해서 카드 N개 구매하려고 한다. 카드가 i개 포함된 카드팩의 가격은 Pi원이다.

예를 들어, 카드팩이 총 4가지 종류가 있고, P1 = 1, P2 = 5, P3 = 6, P4 = 7인 경우에 민규가 카드 4개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값은 10원이다. 2개 들어있는 카드팩을 2번 사면 된다.

P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값이다.

마지막으로, P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해 18원을 지불하는 것이 최댓값이다.

카드 팩의 가격이 주어졌을 때, N개의 카드를 구매하기 위해 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. N개보다 많은 개수의 카드를 산 다음, 나머지 카드를 버려서 N개를 만드는 것은 불가능하다. 즉, 구매한 카드팩에 포함되어 있는 카드 개수의 합은 N과 같아야 한다.

 

입력

첫째 줄에 민규가 구매하려고 하는 카드의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)

둘째 줄에는 Pi가 P1부터 PN까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Pi ≤ 10,000)

 

출력

첫째 줄에 민규가 카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 출력한다.

 

 

풀이

 

 이 문제 또한 DP 1차원 배열과 점화식을 세워서 풀 수 있는데 N이 어떤 카드팩들에 들은 카드 수의 총합이기 때문에 i + j = N 이 되는 조합의 카드팩들만 살 수 있습니다. 

 

 N = 1 이라면 민규는 1개의 카드가 들은 카드팩만 살 수 있고

 N = 2 라면 2개의 카드를 살 수 있는데 이 땐 1개짜리 카드팩 2개를 사거나 2개짜리 카드팩 하나만 사는 경우 중 최대값을 구해야 합니다. 

 N = 3 이라면 3개의 카드를 살 수 있고 이 땐 1개짜리 카드팩 3개를 사거나 2개짜리 + 1개짜리 혹은 1개짜리 + 2개짜리를 사는 경우 중 최대값을 구해야 합니다. 

 N = 4 라면 1개짜리 4개 혹은 2개짜리 2개 혹은 3개짜리 + 1개짜리 혹은 4개짜리 하나를 사는 경우 중 최대값을 구하면 됩니다. 

 

 점화식 DP 문제를 풀려면 먼저 DP 배열부터 정의해줘야 하기 때문에 저는 DP[N] = N개의 카드를 사는 데 필요한 최대 금액으로 정의해 주었습니다. 

 

 

 DP 배열을 정의했으면 이제 앞에서부터 배열을 채워주면 되는데 예제 1번을 생각해 보면 4개의 카드를 사려면 1원짜리를 4개 사거나 5원 짜리를 2개 사거나 6원 짜리 1개 + 1원 짜리 1개 혹은 7원 짜리 하나만 사는 경우가 있습니다. 이 경우엔 5원 짜리 2개를 사는 것이 최대 금액입니다. 

 P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값이다. <- 하지만 이 경우에는 1번을 4개 사야하고

P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해 18원을 지불하는 것이 최댓값이다. <- 이 경우엔 3개+1개 조합으로 사야 하기 때문에 우리는 1+3, 2+2, 3+1, 4+0 의 경우를 모두 고려해 봐야 한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

 N개를 산다면 1+N-1, 2+N-2, 3+N-3, 4+N-4, ... N-1+1, N개를 사는 경우를 고려해 봐야겠네요. 그러면 여기에서 DP[N] = max(DP[N], DP[N-i] + cardPack[i] 라는 점화식을 구할 수 있습니다. 이것을 반복문으로 돌리면 답을 구할 수 있습니다. 

 

 

코드

 

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    int N;
    cin >> N;
    
    vector<long long> cardPacks(N + 1);
    for (int i = 1; N >= i; i++)
        cin >> cardPacks[i];
    
    vector<long long> DP(N + 1, 0); //N개를 사기 위해 필요한 최대 금액
    DP[1] = cardPacks[1];
    for (int i = 2; N >= i; i++)
    {
        for (int j = 1; i >= j; j++)
            DP[i] = max(DP[i-j] + cardPacks[j], DP[i]);
    }
    
    cout << DP[N];
    
    return 0;
}